未婚生的孩子不可以直接送福利机构。详细分析：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。社会福利院主要负责抚养那些查找不到生父母的弃婴和孤儿，对于有父母的孩子，通常不在其接收范围之内，除非满足特定的法律条件，如生父母确实无力抚养，并依法办理送养手续。提醒：若生父母未履行抚养义务，将孩子直接送往福利机构，可能涉嫌触犯遗弃罪，表明问题比较严重，应及时寻求专业人士的帮助。
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法律角度的常见处理方式：对于未婚生育的孩子，若父母确实无力抚养，法律上常见的处理方式包括：1.依法寻求收养：寻找符合收养条件的个人或机构进行收养，确保孩子能够得到良好的成长环境。2.请求亲戚收容领养：考虑将孩子送给有抚养能力的亲戚收养，以保持一定的血缘关系和亲情联系。3.请求政府协助：向当地民政部门申请，寻求政府的收容和抚养帮助。选择不同处理方式时，应根据自身实际情况、孩子的需求和收养人的条件进行综合考虑，确保孩子的权益得到最大保障。
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在不同情况下，针对未婚生育孩子的处理方式具体操作如下：1.若生父母双方均愿意但无力抚养孩子，可共同与收养人达成收养协议，并向县级以上人民政府民政部门登记，确保收养关系合法成立。在此过程中，需出具同意送养和无力抚养的证明，并遵守相关法律法规。2.若选择请求亲戚收容领养，应与亲戚充分沟通，确保其对孩子的抚养意愿和能力，并签订相关协议，明确双方的权利和义务。3.若向政府请求协助，应向当地民政部门提交申请，说明自身情况和抚养困难，并配合政府部门的调查和审核。在政府部门决定收容抚养后，应遵守相关规定，确保与孩子的联系和探望权利。在处理过程中，应始终关注孩子的权益和需求，确保其在任何情况下都能得到妥善的抚养和关爱。